Los Teoremas de incompletitud de Gödel son dos teoremas de la lógica matemática que establecen limitaciones inherentes a los más triviales sistemas axiomáticos capaces de hacer aritmética. Los teoremas probados por Kurt Gödel en 1931 son importantes tanto para la lógica matemática como para la filosofía de la matemática. Los dos resultados son ampliamente, pero no universalmente, interpretados como indicaciones de que el programa de Hilbert para encontrar un conjunto completo y consistente de axiomas para toda la matemática resulta imposible, dando una respuesta negativa para el segundo problema de Hilbert.
El primer teorema de incompletitud establece que ningún sistema consistente de axiomas, cuyos teoremas pueden ser enumerados por un procedimiento ‘efectivo’ (por ejemplo, un programa informático que puede ser de cualquier tipo de algoritmo), es capaz de demostrar todas las verdades acerca de las relaciones de los números naturales (aritmética). Para cualquiera de estos sistemas, siempre habrá declaraciones sobre los números naturales que son verdaderas, pero no puede ser probados dentro del sistema. El segundo Teorema de incompletitud, una extensión del primero, señala que tal sistema no puede probar su propia consistencia.
Teorema 1: ‘Cualquier teoría axiomática recursivamente enumerable y capaz de expresar algunas verdades básicas de la aritmética no puede ser consistente y completo. Es decir, siempre hay en una teoría consistente proposiciones verdaderas que no pueden ser demostradas ni negadas’.
Teorema 2: ‘Una teoría, recursivamente enumerable y capaz de expresar verdades básicas de la aritmética y algunas afirmaciones de la teoría de la prueba, puede probar su propia consistencia si, y solamente si, fuera inconsistente’.
Limitaciones de los teoremas de Gödel
Las conclusiones de los teoremas de Gödel solo son probadas para las teorías formales que satisfacen las hipótesis necesarias. No todos los sistemas axiomáticos satisfacen estas suposiciones, aun cuando estos sistemas tienen modelos que incluyen los números naturales como un subconjunto. Por ejemplo, hay axiomatizaciones de primer orden de la geometría euclidiana, del cuerpo real cerrado, y de la aritmética en la cual la multiplicación no es demostrablemente total; ninguna de esas atiende a las hipótesis de los teoremas de Gödel. El punto clave es que esas axiomatizaciones no son expresivas lo suficiente para definir el conjunto de los números naturales o para desarrollar propiedades para ellos. En relación al tercer ejemplo, Dan Willard (2001) estudió muchos sistemas débiles de aritmética que no satisfacen las hipótesis del segundo teorema de la incompletitud y que son consistentes y capaces de probar su propia consistencia.
Los teoremas de Gödel sólo se aplican a las teorías efectivamente generadas (que son recurrentemente enumerables). Si todas las afirmaciones verdaderas sobre los números naturales fueran tomadas como axiomas para una teoría, entonces esa teoría es consistente, una extensión completa de la aritmética de Peano (llamada de aritmética verdadera) para el cual ninguno de los teoremas de Gödel se aplica significativamente, porque esa teoría no es recursivamente enumerable.
El segundo teorema de incompletitud sólo muestra que no se puede probar la consistencia de ciertas teorías de los axiomas de estas teorías propias. Este no muestra que la consistencia no puede ser probada a partir de otros axiomas (consistentes). Por ejemplo, la consistencia de la aritmética de Peano puede ser probada en la teoría de los conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), o en las teorías aritméticas aumentadas con inducción transinfinita, como en la prueba de consistencia de Gentzen.
