La Paradoja de Galileo es una demostración de una de las sorprendentes propiedades de los conjuntos infinitos. El carácter paradójico se da para tener implícito el principio de que el conjunto es mayor que sus partes.
En su última obra científica, Dos Nuevas Ciencias, Galileo Galilei hizo dos declaraciones aparentemente contradictorias sobre los enteros positivos. En primer lugar, algunos números tienen la propiedad de ser cuadrado perfecto (es decir, el cuadrado de un entero dicho simplemente cuadrado) mientras que otros no la tienen. Por eso el conjunto de todos los números, incluyendo tanto los cuadrados como no cuadrados, tiene que ser mayor que el conjunto de los cuadrados. Sin embargo, por cada cuadrado hay exactamente un número que es su raíz cuadrada, y para cada número hay exactamente un cuadrado. Por tanto, no puede haber más de un tipo que de otro. Este es uno de los primeros usos, aunque no el primero, de demostración a través de una función biyectiva.
Galileo llegó a la conclusión que los conceptos de menor, igual y mayor sólo se aplicaron a conjuntos finitos, y no tenían ningún sentido aplicados a conjuntos infinitos. En el siglo XIX, Cantor, utilizando los mismos métodos, demostró que a pesar de que el resultado de Galileo es correcto, si se aplicaba a números enteros, o mismo a los racionales, la conclusión general no era correcta: algunos conjuntos infinitos son mayores que otros, en el sentido en que no se pueden relacionar en una correspondencia uno a uno.
Galileo Galilei (1564-1642) presenta la paradoja de los cuadrados en Discorsi e dimostrazioni matematiche a due nuove scienze. Galileo reanuda la comparación hecha previamente por Nicolás de Cusa (1401-1464) entre la secuencia de números naturales y la secuencia de sus cuadrados: es intuitivo decir que existen menos cuadrados que naturales, pues es posible encontrar números naturales que no son cuadrados. Pero, al mismo tiempo, cada número natural tiene su cuadrado, pero lo que no es correcto decir que hay menos cuadrados que números naturales. Estamos frente a un dilema.
Galileo expone el razonamiento y las conclusiones que se desarrolla a través de un diálogo entre tres personajes – Salviati, Simplício y Sagredo (el propio Galileo, un sabio aristotélico y un hombre de sentido común). El discurso concluye:
‘(…) Que el conjunto de los números, de los cuadrados, de las raíces es infinito; que el total de los números cuadrados no es inferior al conjunto de los números ni este superior a aquel. Y finalmente, que los atributos igual, mayor y menor no tiene sentido para cantidades infinitas, sino solamente para cantidades finitas’.
— Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche a due nuove scienze
La solución a la paradoja es que no tiene sentido utilizar las operaciones de ‘mayor’ y ‘menor’ para comparar conjuntos infinitos. Y, por el proceso de eliminación, concluye también que se puede decir que los cuadrados son tantos como los naturales, pues es posible establecer una biyección entre los dos conjuntos infinitos. Sería en esta herramienta que estaría la clave para el desarrollo de la teoría de los infinitos desarrollada ya en el siglo XIX por Georg Cantor.
Más recientemente, David Hilbert (1862-1943) presentó otra formulación de esta paradoja, que concluye que el doble del infinito es ‘igual’ a infinito, construcción abstracta conocida como Hotel Infinito de Hilbert.
