En matemáticas, conjuntos infinitos fueron primeramente considerados por Georg Cantor, alrededor de 1873. Cantor observó que conjuntos infinitos pueden tener tamaños diferentes, distinguiendo entre conjuntos infinitos contables e incontables, y desarrolló su teoría de números cardinales basado en esta observación. La matemática moderna acepta el infinito real. Por ejemplo, líneas y superficies de geometría son interpretadas por las matemáticas contemporáneas como conjuntos infinitos de puntos. Ciertos sistemas de numeración extendidos, tales como los números surreales, incorporan los números (finitos) ordinales y los números infinitos de diferentes tamaños.
Es necesario abandonar la intuición acerca de los objetos finitos tratándose de conjuntos infinitos. Esto es probado por la paradoja del Grand Hotel de Hilbert.
El símbolo del infinito
El símbolo de infinito (\infty, ∞), a veces llamado de lemniscata, del latín lemniscus, fue introducido en la literatura matemática por John Wallis. Su introducción tuvo lugar en 1655 en la obra De sectionibus conicis. Una conjetura acerca del por qué se escogió este símbolo es que deriva de un número romano utilizado para 1.000 que, a su vez, fue derivado del numeral etrusco para el mimo valor, que se asemejaba a CIƆ y era a veces usado para significar ‘muchos’. Otra conjetura es que él deriva de la letra griega ω – Omega – la última letra del alfabeto griego. También antes de las máquinas de composición ser inventadas, ∞ era fácilmente impreso en tipografía usando el número 8 tumbado hacia el lado.
El símbolo del infinito está disponible en HTML estándar como ∞ y en LaTeX como \infty. En Unicode, el carácter de código U + 221E (∞), o 8734 en notación decimal.
La curva matemática que rinde el símbolo \infty es la lemniscata.
En teoría, el infinito está representado por la letr hebrea aleph (\aleph).
Definición matemática formal
El infinito se ha convertido en una herramienta fundamental para el cálculo infinitesimal y diferencial, que a pesar de sus buenos resultados prácticos, no fue todavía formalmente definido satisfactoriamente para los estándares de rigor matemático. Y sin una definición formal sólida no era posible resolver de forma convincente las paradojas que todavía persistían.
Dirichlet (1805-1859) introdujo el Principio del palomar (Schubfachprinzip), conocida de esta manera a pesar de nunca haber sido publicado por este nombre, también conocido como el principio de cajones. Tal principio afirma que si tenemos más de n objetos dispuestos en cajones, entonces hay por lo menos un cajón con más de un ítem. De forma más abstracta, podemos decir: si M es un conjunto finito, es imposible establecer una correspondencia de uno para uno de elementos de M de forma que quedemos con algún elemento que no tenga su correspondiente.
Richard Dedekind (1831-1916), en 1888, propuso en su libro ‘¿Qué son y para qué sirven los números?: y otros escritos sobre los fundamentos de la matemática’ una definición de infinito, hoy conocida como infinito de Dedekind, partiendo de propiedades bien conocidas de los conjuntos finitos, equivalente a la también propuesta en 1887 por Giuseppe Peano: un conjunto es infinito si existe una función de uno para uno (biyección) entre todo el conjunto y un subconjunto propio.
Utilizando un lenguaje matemático, podemos decir: siendo M un conjunto finito resulta imposible encontrar una función de uno para uno con un subconjunto propio de M. Dedekind definió como conjunto infinito todo aquel que tiene una biyección con un conjunto propio, y por oposición como conjunto finito todo aquel que no es infinito.
