Las paradojas de Zenón, atribuidas al filósofo presocrático Zenón de Elea, son argumentos utilizados para probar la inconsistencia de los conceptos de multiplicidad, divisibilidad y movimiento. A través de un método dialéctico que anticipó Sócrates, Zenón buscaba, partiendo de las premisas de sus oponentes, reducirlas al absurdo y con ello apuntar el punto de fe de los eleáticos y de su maestro Parménides, que iba contra las ideas pitagóricas. Como en otros presocráticos, no poseemos en la actualidad ninguna obra completa de Zenón, siendo las fuentes principales para sus paradojas las citaciones en la obra de Aristóteles y del comentador aristotélico Simplicio de Cilicia.
En contrapartida, Aristóteles escribe en Física que Zenón enunció cuatro argumentos contra el movimiento, conocidos como la paradoja del estado, también conocida como filas en movimiento.
Dicotomía
Imaginemos un atleta queriendo correr una distancia de 60 m, para llegar al final del recorrido primero tendrá que pasar en el punto que corresponde a 1/2 (mitad) del recorrido, después en el siguiente punto que corresponde a 2/3 del trayecto, después el 3/4, para así llegar al 4/5 y después al 5/6 y más tarde 30/1, 199/200 y 5647/5648 del trayecto (que numéricamente correspondería a 59,9893798 metros, teniendo así un número infinito de puntos antes de que el corredor llegue al final.
Como el infinito es una abstracción matemática que significa algo que no tiene ningún límite, el atleta nunca podría alcanzar el final de la ruta (60 metros), porque habría tenido que pasar por interminables puntos para llegar a su fin. Si él llegase al final después de recorrer el infinito significaría que este infinito tiene un fin, como esto no es posible, genera así la paradoja.
El problema detrás de la dicotomía, que es el mismo que el de Aquiles, parece reposar en la intuición de que el corredor demora un templo finito mínimo para recorrer cada intervalo espacial sucesivo. Como hay infinitos de esos intervalos, el tiempo de transcurso sería infinito. Sin embargo, sabemos que esa intuición es errónea: el tiempo del recorrido por cada intervalo es proporcional a la longitud del intervalo (suponiendo velocidad constante). Ese punto fue apuntado por Aristóteles, pero en otro fragmento él se confundió con relación a la presencia de infinitos intervalos finitos de tiempo. De la misma manera que los intervalos espaciales suman 1 en la serie convergente, los intervalos temporales también lo hacen. El corredor acaba completando el recorrido.
Aquiles y la tortuga
Aquiles, el héroe griego y una tortuga deciden competir en una carrera. La velocidad de Aquiles es mayor que la de la tortuga; ésta recibe una ventaja, partiendo de un tramo de la carrera delante de la línea de partida de Aquiles.
Aquiles nunca supera la tortuga, porque cuando llegue a la posición inicial de la tortuga, esta queda por delante, en otra posición (B). Cuando Aquiles llega a B, la tortuga ya no está allí, porque avanzó a una nueva posición (C) y así sucesivamente, ad infinitum.
En términos matemáticos, sería decir que el límite, con el espacio entre la tortuga y Aquiles, tendiendo a 0 del espacio de Aquiles, es la tortuga. Es decir, él virtualmente alcanza a la tortuga pero en esa línea de razonamiento no importa cuánto tiempo pase. Aquiles nunca alcanzará a la tortuga ni, por tanto, podrá superarla.
Este concepto se vale fuertemente del concepto referencial. Dada una carrera sólo a Aquiles, sin estar en contra de nadie, su movimiento es ilimitado. Pero al colocarse, sin embargo, la tortuga, se crea un referencial para el movimiento de Aquiles, que es la causa de la paradoja. De hecho el movimiento de él es independiente del movimiento de la tortuga; si adoptamos la tortuga como un patrón para determinar el movimiento de él, creamos una situación artificial en que Aquiles es regido por el espacio de la tortuga. Es una visión del problema que puede referirse a la mecánica cuántica y al Principio de incertidumbre formulado por Werner Heisenberg en 1927. Ese principio rige cuán mayor la certeza de la localización de una partícula, menor la certeza de su momento, y eso es implicado por la existencia de un observador en el sistema físico. Análogamente, la paradoja de Aquiles y de la tortuga tiene su interpretación cambiada conforme a la existencia o no de la última, generando la denominada Paradoja cuántica de Zenón, que en determinadas condiciones relacionadas a la medición Aquiles nunca alcanzaría a la tortuga.
Incoherencia de paradoja
Al afirmar que, por tal argumento señalado, Aquiles nunca llegará a alcanzar a la tortuga, Zenón omite cualquier reflexión sobre qué es el tiempo. La conclusión de que la tortuga será siempre por delante se sustenta sobre el argumento de infinitos desplazamientos simultáneos, de Aquiles y de la tortuga, pero que representan siempre un décimo en relación al desplazamiento anterior. Análogamente, el tiempo transcurrido para cada desplazamiento será de un décimo de tiempo del desplazamiento anterior. Luego, se tiene que el tiempo transcurrido es una progresión geométrica de arzón inferior a 1, lo que significa que sumándose los infinitos intervalos de tiempo de esa progresión, habrá un valor límite al cual el sumatorio converge. Se encuentra, así, una incoherencia de la paradoja, porque él define que la tortuga nunca será alcanzada, aunque el análisis temporal demuestra que esto sucederá apenas en este intervalo de tiempo fijo.
Suponiendo ahora una extensión de la mecánica cuántica (aún bajo discusión en la comunidad científica) en el que el tiempo puede ser caracterizada por unidades mínimas indivisibles, la paradoja pierde su lógica a medida que los intervalos de tiempo se aproximan de la unidad fundamental, en la cual el valor absoluto de la velocidad de Aquiles es superior a la de la tortuga, y consecuentemente habrá superación, haciendo a Aquiles ganador de la carrera.
Finito vs infinito
La solución a esta paradoja clásica implica el uso de la noción de límite y convergencia de series numéricas. La paradoja surge al pensar intuitivamente que la suma de los intervalos de tiempo infinito es infinita, de tal manera que sería necesario pasar un tiempo infinito para Aquiles alcanzar la tortuga. Sin embargo, los intervalos de tiempo infinito describen en forma paradoja una progresión geométrica y su suma converge a un valor finito, en el cual Aquiles encuentra a la tortuga.
Otra solución es que se trata de un razonamiento infinitesimal, en el que cada objeto se mueve infinitamente para distancias que van desde reducir infinitamente a cada paso, que sólo sería posible si las dimensiones de cada objeto pueden ser abstraídas, como si fueran puntos los materiales no se produce en el mundo físico, porque las leyes de la mecánica clásica (Newton) no se aplican en espacios situados inferiores a la longitud de Planck.
