El infinito actual, infinito real o infinito completo es un concepto abstracto y controvertido: ¿tiene sentido la existencia de una entidad completa con un número infinito de elementos?
El aristotelismo niega la existencia de la corriente infinita, sea esta física o abstracta, habiendo sido esta posición dominante durante milenios. Puntualmente surgieron algunas voces disonantes que admitían pensar el infinito para el de potencial como actual: Dios podría tener una naturaleza infinita actual y no apenas un proceso con potencial. Son ejemplos de eso Gregoria de Nisa, Nicolás de Cusa y mucho más tarde George Cantor. En buen rigor, los pioneros del concepto de infinito actual todavía lo asociaban al ‘Ápeiron’ – algo lógicamente incoherente. Fue Cantor el primer en mostrar que el concepto podría ser trabajado de forma lógica y racional.
En matemáticas, se observó que existe una diferencia cualitativa entre una potencial infinita de elementos, discretos, y la sucesión de puntos de un segmento de recta, aquello que es llamado de línea continua. En el primer caso podemos asegurar siempre más un elemento, dando más un paso para el elemento siguiente: entre un determinado punto y otro posterior, tan próximo como se quiera, es siempre posible encontrar un punto intermedio, y así consecutivamente, hasta el infinito. Un segmento continuo es infinitamente divisible.
Este segundo tipo de infinito plantea grandes interrogantes sobre el potencial infinito, como parte de un todo dado (el segmento de recta) que puede contener una infinidad de elementos. El infinito en acto parece ser propiedad necesaria del continuo.
Estas propiedades del segmento de recta se explican mediante el concepto de infinitésimo: «números» indefinidamente pequeños, más pequeños que cualquier número real. Este concepto tiene sus raíces en la Grecia antigua, en el atomismo de Leucipo de Mileto (siglo V a.C.) y su discípulo Demócrito de Abdera (460-370 a.C.). El atomismo fue criticado a lo largo de la historia, habiendo sido Zenón de Elea (495-430 A.C.), el protagonista de uno de los ataques más llamativos, a través de sus paradojas. Más tarde, fue recuperado para servir como base para el infinitesimal de Leibniz (1646-1716) y Newton (1643-1727). A pesar de su eficacia en matemáticas y física, el cálculo infinitesimal presenta inconsistencias presentes en el hecho de que son al mismo tiempo no-finitos y no-nulos.
El infinitesimal eventualmente fue prohibido de las matemáticas con la formulación del diferencial y cálculo integral por Karl Weierstrass (1815-1897), que sustituye el infinitésimo por el concepto de límite. El infinitesimal más tarde fue recuperados en matemáticas por Abraham Robinson (1918-1974), quien en 1966 introduce una nueva teoría para el análisis matemático basado en el llamado análisis no estándar infinitesimal, que proporciona una base teórica para el uso de infinitesimal como Leibniz idealizó.
Georg Cantor (1845-1918) era considerado en ser el primero en dar un tratamiento lógico y racional al infinito. Creó el concepto de número transfinito, que denota el poder de la cardinalidad de un conjunto. El primer transfinito, aleph cero, representa la cantidad de los números naturales, por eso un infinito en acto. Cantor demostró que existen infinitos con diferentes potencias, siendo la cardinalidad del conjunto de los números reales superior a la de los números naturales y racionales.
