El infinito absoluto es el concepto de Georg Cantor de un infinito que trascendía los números transinfinitos. Cantor equiparó el infinito absoluto como Dios. Él creyó que el infinito absoluto tenía varias propiedades matemáticas, incluyendo lo que cada propiedad del infinito absoluto también está presente en algunos objetos más pequeños.
Visión de Georg Cantor
El infinito siempre se presenta en tres contextos: primero cuando se presenta en forma más completa, en una entidad sobrenatural con plena independencia, in Deo, el cual denominó Infinito absoluto o simplemente de Absoluto; segundo cuando ocurre de forma eventual, mundo creado; tercero cuando la mente entiende el abstracto como una magnitud matemática, número o tipo de ordenación.
Cantor también mencionó esta idea en su famosa carta para Richard Dedekind el 28 de julio de 1899:
‘Una multiplicidad es dicha bien ordenada si ella atiende a la condición de que cada sub-multiplicidad tenga un elemento inicial; tal como una multiplicidad de una pequeña secuencia. Ahora yo contemplo el sistema de todos los números representado por Ω. El sistema Ω es naturalmente ordenado de acuerdo con su magnitud, formando una secuencia. Ahora añadamos 0 como un elemento extra para esta secuencia y ciertamente colocaremos 0 en la primera posición entonces Ω* es todavía una secuencia de la cual podemos fácilmente convencernos de que cada número que ocurre en ella es un número ordinal de la secuencia de todos sus elementos precedentes. Ahora Ω* (y consecuentemente también Ω) no puede tener una multiplicidad consistente. Para que Ω* sea consistente, tal como un conjunto bien ordenador, un número Δ debe ser anexado para que se haga mayor que todos los números del sistema Ω: el número Δ, sin embargo, también pertenece al sistema v, porque él engloba todos los números. Por tanto Δ debe ser mayor que Δ, lo que es una contradicción. Por tanto, el sistema Ω de todos los números ordinales es una inconsistencia, multiplicidad infinito absoluto’.
La paradoja de Burali-Forti
La idea de que la colección de todos los números ordinales no pueda existir lógicamente parece ser muy paradójica. Esto es relatado en la paradoja de Cesare Burali-Forti, para el cual no puede existir ningún número ordinal máximo. Todos estos problemas regresan a la idea de que, para cada propiedad que puede ser definida lógicamente, existe un conjunto de todos los objetos que tiene esta propiedad. No obstante, como en el argumento de Cantor, esta idea conduce a ciertas dificultades.
Más genéricamente, como se ha señalado por A.W. Moore, no puede haber fin para el proceso de formación de conjuntos y, por lo tanto no puede una cosa tal como el conjunto de todos los conjuntos, o conjunto jerárquico. Además, cualquier conjunto de totalidad debe ser un conjunto de sí mismo, por tanto, engañándose de cierta forma en dentro de la jerarquía y fallando en contener cada conjunto.
Una solución a este problema se encuentra en la Teoría de conjuntos de Zermelo, que no permite la formación de conjuntos de propiedades arbitrarias sin restricciones. Además, deberíamos formar un conjunto de todos los objetos que tienen una propiedad determinada, en un sentido limitado, preservando la consistencia de la teoría.
Sin embargo, mientras que esto resuelve el problema limpiamente permanece problema lógico. Parece natural que el conjunto de individualidad deba existir. Realmente en una forma ingenua, la teoría de conjunto puede ser dicha como basada en esta noción. La corrección de Zermelo parece concluir para nosotros la noción particularmente curiosa de una clase apropiada: una clase de objetos que no tengan cualquier existencia formal, como un objeto (conjunto) dentro de la teoría. Por ejemplo, la clase de todos los conjuntos una clase apropiada.
