Los pueblos anteriores a los griegos, como los árabes, hindúes, chinos, babilonios o egipcios, tenía una matemática desarrollada. Sin embargo, esta matemática queda relegada exclusivamente a problemas cotidianos, de orientación práctica, como el cálculo de áreas, volumen, peso y tiempo. No había espacio para un término ambiguo como infinito, porque nada en la vida cotidiano era infinito.
A pesar de esto, hay informes sobre el uso del infinito en matemáticas hindúes, relacionadas con el uso del cero. Brahmagupta había definido la división por cero teniendo resultado a/0 sin especificar el significado. Más tarde, Bhāskara II (1150) y Ganesa (1558) hicieron la conexión explícita con el concepto de infinito. Ganesa indicó que a/0 es una cantidad indefinida e ilimitada, o infinita: no es posible determinar cuán grande es. Es inalterada por la adición o sustracción de cantidades finitas.
Grecia antigua
Se sintió la necesidad de pensar sobre el infinito cuando la matemática pasó de una disciplina exclusivamente práctica para una disciplina teórica, lo que vendría a suceder en Grecia Antigua, en el siglo VI a.C.
Aunque el infinito matemático ser reconocido por los filósofos tales como Pitágoras, Parménides y Platón, fue tomado como un concepto negativo: algo irracional, inaccesible, incluso insuperable.
El pensamiento de Aristóteles (384-322 a.C.) fue dominante habiendo influido fuertemente pensando en infinito, de filosofía y teología hasta el siglo XVII. Aristóteles niega la existencia del infinito tomado como completo, sea físico o abstracto. El método deductivo, central en la geometría aristotélica, determina que no podemos conocer los objetos posteriores que no deriven de elementos primeros. Estos postulados primeros son indemostrables, están fuera de la ciencia, estando en el dominio de la metamatemática. Son el ‘actual’ de donde parte todo el ‘potencial’. Los eventos futuros son por eso consecuencia de la realización de los eventos anteriores, siendo admitido el infinito en potencia, pero no tiene sentido pensar el futuro como un infinito todo dado, completo, ya realizado. Se impone un límite del proceso de actuación, un fin último, una entelequia, para usar el término introducido por los griegos en el lenguaje de la filosofía. Antes de rechazar el infinito como algo con una existencia concreta, Aristóteles fue pionero al discutir la diferencia entre infinito potencial e infinito en acto.
En contraste con la doctrina aristotélica, una línea de pensamiento opositora, el atomismo, considera la materia como siendo compuesto de una cantidad infinita de átomos, indivisibles, admitiendo de esta forma el infinito. Eudoxo de Cnido (390-338 a.C.) y Demócrito de Abdera (460-370 a.C.) son considerados a los fundadores del atomismo y establecieron una técnica práctica, el método de agotamiento, que recurría al infinito potencial para resolver problemas matemáticos.
Este método fue incorporado por Euclides (360-295 a.C.) en sus Elementos (libros V y XII) y más tarde fue refinada por Arquímedes (287-212 a.C.), quien lo utilizó para descubrir resultados cuya evidencia se daría más tarde a través de otros métodos.
En particular, era notable utilizar por Arquímedes el método de agotamiento para calcular el valor de Pi, mediante aproximaciones graduales de poliedros a una circunferencia. Conseguir por primera vez presentar un método de cálculo que permitía obtener el valor de Pi con la precisión que deseara. Aun así, el método era considerado una heurística, una técnica auxiliar, no una herramienta sistemática de pleno derecho, capaz de hacer prueba.
Incluso en la antigüedad, Plotino (205-270 d.C.) fue el primero en concebir un infinito absoluto, con similitudes al infinito en acto, pero que continúa estando más allá de lo racional. Este es un infinito que existe como un todo, pero es trascendental, siendo una característica de la divinidad. Esta visión de la corriente infinita absoluta, actual pero no pensable, se mantuvo en la doctrina filosófica cristiana, como más tarde la obra de Gregorio de Nisa (330-395 d.C.) también muestra.
Edad Media
En el siglo XIII, Tomás de Aquino, fuertemente influenciado por la estructura filosófica de Aristóteles, también admitiría el infinito absoluto como una característica de Dios, pero considera que el infinito en acto no es aceptable en la creación, lo mundano. Esta concepción del infinito de cuño aristotélico-tomista se mantuvo dominante desde la civilización grecolatina hasta el Renacimiento.
Nicolás de Cusa (1401-1464), ya en la edad media, presenta una forma de pensar ‘prius inaudita’ – nunca antes vista. Abandona la idea del infinito como algo impensable y lo transforma en un concepto científico, que podía ser usado en matemáticas desprendiéndose de su carga teológica. Argumenta que el infinito tiene una forma única que no puede ser medido en términos de ‘mayor’ o ‘menor’. Comprendió que los enteros son tantos como los cuadrados de los cuadrados de los enteros, a pesar de los últimos ser ‘menos’ que los enteros. A los fenómenos contraintuitivos del infinito llamó de Coincidentia Oppositorum – la coincidencia de los puestos. Este discernimiento abrió puertas a un nuevo espacio conceptual que sería aprovechado pro figuras como Galileo Galilei, Bernard Bolzano, Georg Cantor, Kurt Gödel y Gerhard Gentzen.
Renacimiento
Giordano Bruno (1548-1600) fue una voz discrepante de la dominancia aristotélica-tomista acerca del infinito. En su obra de 1584, Sobre el infinito universo y los mundos. (Del infinito universo e mondi) discute las consecuencias filosóficas de la sustitución del modelo del mundo de Nicolás Copérnico (1473-1543), cerrado por una esfera exterior, por el modelo de Thomas Diggs (1546-1595), que cuestionaba la existencia de esa esfera. Bruno defiende la existencia del infinito no trascendental y discute la argumentación finitista de Aristóteles y Tomás de Aquino.
Galileo Galilei (1564-1642), atomista y contra la tradición aristotélica dominante, dio un paso audaz indicando claramente la posibilidad de dividir un segmento de línea en una infinidad de elementos primeros, no cuantos, esto es, sin extensión. La subdivisión presupone que las partes son infinitas, porque de lo contrario la subdivisión sería terminable. A pesar de atrevido en filosofía, como matemático Galileo demostró ser prudente y no dio un paso para aceptar el infinito en acto como parte de la matemática. Como base a las ideas de Galileo, sus discípulos desarrollaron la geometría del indivisible, que fue fundada por Bonaventura Cavalieri (1598–1647) y desarrollada por Evangelista Torricelli (1608-1647). John Wallis (1616-1703), autor de Arithmetica Infinitorum (1656) fue el tercer gran nombre del método de los indivisibles, que sería la premisa para el desarrollo del cálculo infinitesimal (o diferencial).
Gottfried Leibniz (1646-1716) publicó la primera exposición de cálculo diferencial en 1664, en Acta Eruditorum, en el ensayo Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus (nuevo método para buscar los máximos y mínimos, así como las tangentes). En paralelo y de forma independiente, Isaac Newton (1642-1727) desarrolló un método equivalente, pero que solo fue publicado en 1687, en Philosophiae naturalis principia mathematica. Estos descubrimientos independientes generaron una disputa sobre su autoría, que llegaron a tener contornos políticos derivados del prestigio para sus países, Alemania y Gran Bretaña. Los métodos de Leibniz y Newton marcaron el triunfo del infinito en la matemática, pero restaba todavía la controversia sobre la naturaleza de estos infinitesimales. ¿Son cero? ¿Son átomos muy pequeños más mayores que cero? La expresión más aguda de esta cuestión fue la del obispo George Berkeley (1685-1753), que en 1753 publicó una obra satirizando y ridiculizando los fundamentales del cálculo infinitesimal.
Edad contemporánea
Bernard Bolzano (1781-1848) demostró que la mayoría de las antinomias del infinito podría reducirse a paradojas (algo que parece contradictorio al sentido común, pero no lo es efectivamente) a través de razonamiento lógico.
Georg Cantor (1845-1918) fue el primero en lograr un tratamiento racional y a afirmar el infinito actual como objeto pensable y tratable de forma racional, y contra la filosofía de Kant, que prevalecía en la época. Hasta ese momento, el concepto de infinito actual había sido rechazado por grandes pensadores como Galileo, Leibniz, Newton y Gauss incluso, debido a las dificultades generadas por sus contradicciones. Cantor vendría a inspirar en la obra de Nicolás de Cusa, a quien se refiere en notas en Grundlagen, y caracterizó el infinito por su cardinalidad. Llamó conjunto contable a los conjuntos infinitos para los cuales es posible establecer una correspondencia biunívoca de todos sus elementos con el conjunto de todos los números naturales. A esa correspondencia se llama equipotencia (que relaciona dos conjuntos si «tienen el mismo número de elementos»). Cantor mostró que los números racionales son contables, pero que los números reales no lo son. A través de su argumento de diagonalización probó por absurdo que no es posible establecer esa correspondencia. Los números reales son ‘más’ que los naturales, o diciendo mejor, tiene una cardinalidad superior. Corresponden a un orden de infinito superior al de los naturales. Cantor estableció la existencia de una escala ordenada de potencias de infinito, potencialmente infinita, lo que levantaba la cuestión de existencia o no de un infinito absoluto, superior a cualquier infinito. Ese concepto parece estar más allá del racional.
